Zad.4 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

Zad.4 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

 "4. W pewnym prostokącie jeden z boków jest o 6 cm dłuższy od drugiego. Gdy parę dłuższych boków skrócono o 20%, a parę krótszych przedłużono o 25%, otrzymano prostokąt o takim samym obwodzie. Jaki obwód ma każdy z tych prostokątów?"

Dane i oznaczenia (prostokąt początkowy):

x — krótszy bok
x + 6 — dłuższy bok
Obwód pierwszego prostokąta = 2 x + 2 (x + 6) = 2x + 2x + 12 = 4x + 12

Nowe boki po zmianach (zamiana procentów na ułamki):

- dłuższy bok skrócono o 20% = 0,2
(x + 6) - 0,2 (x + 6) = 0,8 (x + 6) = 0,8x + 4,8
- krótszy bok przedłużono o 25% = 0,25
x + 0,25x = 1,25x

Układamy równanie (nowy obwód jest taki sam obwód na początku):

2(0,8x + 4,8) + 2(1,25x) = 4x + 12

1,6x + 9,6 + 2,5x = 4x + 12 

4,1x + 9,6 = 4x + 12

4,1x - 4x = 12 - 9,6

0,1x = 2,4

x = 24 cm

Obliczenie obwodu:
podstawiamy x = 24 do wzoru na obwód początkowy,
Obw = 4 · 24 + 12 = 96 + 12 = 108 cm

Odp. Każdy z tych prostokątów ma obwód równy 108 cm.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.3 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

 Zad.3 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

3. Pani Anna ważyła o 3 kg mniej niż pani Zofia. Po kuracji odchudzającej pani Anna waży o 15% mniej, a pani Zofia o 15 kg mniej i obie ważą tyle samo. Ile kilogramów ważyła każda z tych pań przed kuracją odchudzającą?

Wagi pań przed kuracją:

x – waga pani Zofii
x - 3 – waga pani Anny (ważyła o 3 kg mniej)

Zmiana wagi (po kuracji):

zgodnie z Twoją prośbą, zamieniamy procenty na ułamki (15% = 0,15),

- Pani Anna waży o 15% mniej, czyli zostało jej 85% pierwotnej wagi,
0,85 (x - 3)

Pani Zofia waży o 15 kg mniej,
x - 15

Układamy i rozwiązujemy równanie (wiemy, że po kuracji obie panie ważą tyle samo):

0,85 (x - 3) = x – 15

0,85x - 2,55 = x – 15

x - 0,85x = 15 - 2,55

0,15x = 12,45  

x = 12,45 : 0,15

x = 83

Waga pani Zofii: 83 kg
Waga pani Anny: 83 - 3 = 80 kg

Odp. Przed kuracją pani Anna ważyła 80 kg, a pani Zofia 83 kg.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.2 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

 Zad.2 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"2. Na placu zabaw bawią się dzieci. Połowa z nich gra w piłkę, 10% biega bez celu i krzyczy, 20% gra w gumę, a reszta, czyli sześcioro dzieci, bawi się w piaskownicy. Ile dzieci jest na placu zabaw?"

Najpierw zamieńmy wszystkie dane na procenty, aby dowiedzieć się, jaką część grupy stanowi "reszta":

- gyra w piłkę: 50%
- biega i krzyczy: 10%
- gra w gumę: 20%

Suma tych grup to: 50% + 10% + 20% = 80%

2. Obliczamy ile procent dzieci bawi się w piaskownicy:
100% - 80% = 20%

3. Obliczenie całkowitej liczby dzieci:
Z treści wiemy, że te 20% to dokładnie 6 osób. Możemy ułożyć proste równanie, gdzie x to wszystkie dzieci:

20% x = 6

0,2 x = 6 / : 0,2

x = 6 : 0,2

x = 30

II sposób za pomocą proporcji:

20% - 6

100% - x czyli x = 30

Odp. Na placu zabaw jest 30 dzieci.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.1 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

Zad.1 str.206 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z procentami

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"1. Dwaj sąsiedzi, pan Jan i pan Kazimierz, hodują gołębie. Mają ich razem 47. Pan Jan ma o 12% gołębi mniej niż pan Kazimierz. Ile gołębi ma każdy z tych panów?"

Dane:

100%x = x liczba gołębi pana Kazimierza
100%x – 12%x  = x – 0,12x = 0,88x — liczba gołębi pana (Jana Pan Jan ma o 12% mniej niż pan Kazimierz. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny: 12% = 0,12)

Układamy równanie:

wiemy, że razem mają 47 gołębi,

x + 0,88x = 47 lub 100%x + 88%x = 47

Rozwiązujemy równanie:

1,88x = 47 lub 188% x= 47

x = 47 : 1,88 lub x = 47 : 188%

x = 25 – gołębie pana Kazimierza

Obliczenie liczby gołębi drugiego sąsiada:

skoro pan Kazimierz ma 25 gołębi, to pan Jan ma 47 - 25 = 22 gołębi

Odp. Pan Kazimierz ma 25 gołębi, a pan Jan ma 22 gołębie.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.1 - 4 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą - Sprawdż czy umiesz!

Zad.1 - 4 str.203 "Matematyka z plusem 7" - Sprawdż czy umiesz!

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

x -  pierwsza (mniejsza) liczba 

x + 5 - druga liczba (o 5 większa) 

Układamy równanie:
x + (x + 5) = 29

2x + 5 = 29

2x = 24

x = 12

Pierwsza liczba: 12

Druga liczba: 12 + 5 = 17

Obliczenie iloczynu:

12 · 17 = 204

Odp. Prawidłowa odpowiedź to C. 204

t - cena lodów

1/2 t (lub 0,5t) - cena bitej śmietany (skoro lody są 2 razy droższe od bitej śmietany, to śmietana jest 2 razy tańsza od lodów) 
t - 5 - cena rodzynek (skoro lody są o 5 zł droższe od rodzynek, to rodzynki są o 5 zł tańsze od lodów) .

Suma cen tych trzech składników musi wynosić 11 zł, układamy równanie:
t + 1/2t + (t - 5) = 11

Odp. Prawidłowe równanie to D

s – wiek syna teraz

2s – wiek Pana Wojtka teraz

Cofnięcie się w czasie o 18 lat

s - 18 – wiek syna wtedy
2s - 18 – wiek Pana Wojtka wtedy

 Ułkładamy równanie z informacji o przeszłości
Wiemy, że 18 lat temu Pan Wojtek był 3 razy starszy od syna. 
Wiek ojca wtedy = 3 · (wiek syna wtedy)

2s - 18 = 3 · (s - 18)
2s - 18 = 3s - 54 (równanie odwracamy stronami)
3s - 2s = 54 - 18 
s = 36 

Syn ma teraz 36 lat.
Pan Wojtek ma teraz 72 lata.

Sprawdzenie odpowiedzi

Skoro syn ma 36 lat, a pełnoletność osiąga się w wieku 18 lat, to:
36 - 18 = 18 

Oznacza to, że syn jest pełnoletni od dokładnie 18 lat. 

Odp. Poprawna jest odpowiedź B

Zapisujemy wyrażenie na obwód trójkąta:

(3x - 4) + (3x - 4) + 4x = 50

Rozwiązujemy równanie, aby znaleźć x:
3x  -4 + 3x - 4 + 4x = 50
10x - 8 = 50

10x = 50 + 8
10x = 58 / :10

x = 5,8

Obliczamy długość podstawy AB:
AB = 4 · 5,8

AB = 23,2

Odpowiedź: Podstawa AB ma długość 23,2 (odpowiedź B)

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.36 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.36 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"36. Obwód czworokąta PRST jest pięć razy większy od długości przekątnej RT. Obwód trójkąta PRT jest równy 40, a obwód trójkąta RST jest równy 23. Jaką długość ma przekątna RT?"

Oznaczenia:

x - długość przekątnej RT

Obw PRST = 5x (zgodzinie z treścią zadania)

Analiza obwodów trójkątów:

Obwód trójkąta PRT to suma dwóch boków czworokąta oraz przekątnej x, mamy równanie PR + PT + x = 40

Obwód trójkąta RST to suma pozostałych dwóch boków czworokąta oraz przekątnej x, mamy równanie RS + ST + x = 23

Dodajemy obwody trójkątów:
jeśli dodamy do siebie obwody obu trójkątów, otrzymamy sumę wszystkich boków czworokąta oraz podwójną długość przekątnej x,

(PR + PT + x) + (RS + ST + x) = 40 + 23

(PR + PT + RS + ST) + 2x = 63

(PR + PT + RS + ST) = 63 - 2x

Podstawienie obwodu czworokąta:
Wiemy, że obwód czworokąta, to PR + PT + RS + ST to obwód czworokąta, który wynosi 5x, mamy więc (Obw PRST = 5x),

63 - 2x = 5x

5x + 2x = 63

7x = 63

Obliczenie x:

x = 63 : 7

x = 9

Odp. Przekątna RT ma długość 9.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.35 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.35 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"35. Z prostokąta, którego jeden bok jest półtora raza dłuższy od drugiego, odcięto dwa paski, każdy o szerokości 1cm. Jeden pasek odcięto wzdłuż dłuższego boku, a drugi – wzdłuż krótszego. W otrzymanym prostokącie jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Jakie wymiary ma otrzymany prostokąt?"

Oznaczenia początkowe:

 x - krótszy bok wyjściowego prostokąta,
1,5x - dłuższy bok wyjściowego prostokąta.

Wymiary po odcięciu pasków:

nowy krótszy bok: x - 1cm

nowy dłuższy bok: 1,5x - 1cm

Układamy równanie:
wiemy, że w nowym prostokącie jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego,
1,5x - 1 = 2 · (x - 1)

Rozwiązanie równania:
1,5x - 1 = 2x - 2 

przenosimy niewiadome na jedną stronę,
2x - 1,5x = 2 - 1 

0,5x = 1 

x = 2

Obliczenie wymiarów otrzymanego prostokąta:

Pierwszy bok: x - 1cm = 2cm - 1cm = 1cm
Drugi bok: 1,5x - 1 = 1,5 · 2cm - 1cm = 3cm - 1cm = 2cm

Odp. Otrzymany prostokąt ma wymiary 1cm x 2cm.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.34 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.34 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

34. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach 6cm i 5cm . Jaką wysokość powinien mieć ten prostopadłościan, aby pole jego powierzchni całkowitej było równe  280 cm².

Wypisujemy dane z zadania:

- krawędzie podstawy: a = 6 cm, b = 5 cm

- pole powierzchni całkowitej: Ppc = 280 cm²

- szukana wysokość: H = ?

Stosujemy wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

Ppc = 2 (a · b + a · H + b · H)

Podstawiamy dane do wzoru:

280 = 2 (6 · 5 + 6 · H + 5 · H)

Upraszczamy równanie:

280 = 2 (30 + 11 · H) 

dzielimy obie strony przez 2,

140 = 30 + 11 · H

Obliczamy wysokość H (odwracam równanie stronami):

przenosimy 30 na drugą stronę,

11 · H =140 - 30 

11· H = 110 

dzielimy przez 11,

H = 10 cm

Odp. Prostopadłościan powinien mieć wysokość 10 cm.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.33 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.33 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"33. Na rysunku obok trójkąt LNO ma pole 3 razy mniejsze od pola trójkąta LMN. Jaką długość ma odcinek c?

Analiza rysunku i DANE:

- podstawą obu trójkątów (LNO oraz LMN) jest wspólny odcinek LN o długości 12,

- wysokość trójkąta LNO opuszczona na tę podstawę to odcinek c,

- wysokość trójkąta LMN opuszczona na tę podstawę oznaczmy jako h,

- z rysunku wynika, że suma obu tych wysokości wynosi 16 (całkowita szerokość figury): h + c = 16 i z tego mamy h = 16 - c

Wykorzystanie informacji o polach:

Pole trójkąta LNO = 1/2 · 12 · c = 6c

Pole trójkąta LMN = 1/2 · 12 · h = 6h

- wiemy, że pole LNO jest 3 razy mniejsze od pola LMN, 

Pole LMN : 3 = Pole LNO

co możemy zapisać:

Pole LMN = 3 · Pole LNO

6h = 3 · 6c

6h = 18c / : 6

h = 3c

Obliczenie wartości c:

Podstawiamy h = 3c do równania sumy wysokości h + c = 16:

3c + c = 16

4c = 16 / : 4

c = 4

Odp. Odcinek c ma długość 4.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.32 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.32 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

Czworokąt ABCD to kwadrat o boku 15, więc:

- podstawa dolna trapezu ABCE: |AB| = 15
- wysokość trapezu i trójkąta: h = 15
- odcinek |DE| = a
- podstawa górna trapezu ABCE: |EC| = 15 - a

Obliczenie pól powstałych figur:

Pole trójkąta AED:
P = 1/2 · |DE| · |AD| = 1/2 · a · 15 = 7,5a

Pole trapezu ABCE:
P = [(|AB| + |EC|) · h)] / 2 = [(15 + (15 - a)) · 15] /2 = [(30 - a) · 15]/2 

Układamy równanie:

z treści zadania wiemy, że pole trapezu ma być 2 razy większe od pola trójkąta,
[(30 - a) · 15]/2  = 2 · 7,5a

[(30 - a) · 15]/2  = 15a

mnożymy obie strony przez 2 (aby pozbyc się z mianownika 2),

[(30 - a) · 15]/2  = 15a

teraz dzielimy obustronnnie przez 15,

(30 - a) · 15 = 30a /:15

30 - a = 2a

2a + a = 30

3a = 30 /:3

a = 10

Odp. Zadanie będzie prawdziwe, dla długości odcinka a wynoszącego 10.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.31 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.31 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"31. W trapezie o polu 18 cm² wysokość jest równa 3 cm, a jedna z podstaw jest o 5 cm krótsza od drugiej podstawy. 

Oblicz długości podstaw tego trapezu."

Oznaczenia i dane:
- pole trapezu: P = 18 cm2
- wysokość: h = 3 cm
- dłuższa podstawa: a
- krótsza podstawa: b = a - 5

Wzór na pole trapezu:
P = [(a + b) × h] / 2

Podstawiamy dane i rozwiązujemy równanie:

18 = [(a + a - 5) × 3] / 2

- nożymy obie strony przez 2,
36 = (2a - 5) × 3

- dzielimy przez 3,
12 = 2a - 5
17 = 2a
a = 8,5 cm




Obliczamy drugą podstawę:

b = 8,5 - 5 = 3,5 cm




Odp. Podstawy trapezu mają długości 8,5 cm oraz 3,5 cm.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.30 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.30 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

Jaką długość powinien mieć odcinek b, aby pole trapezu FKHI było o 90 większe od pola kwadratu FGHI?

Różnica między polem trapezu a polem kwadratu to pole trójkąta prostokątnego GKH o podstawie b i wysokości 15.

Dane:
- wysokość trójkąta (bok kwadratu): h = 15
- podstawa trójkąta: b
- wymagane dodatkowe pole: P = 90

Równanie (Pole trójkąta):
P = ½ × b × h 

90 = ½ × b × 15




Obliczenia:

90 = ½ × b × 15 - mnożymy przez 2, 

180 = 15 × b - dzielimy przez 15,

b = 180 / 15




b = 12




Odp. Odcinek b powinien mieć długość 12.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.29 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.29 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"29. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 2 razy mniejszą niż suma miar dwóch pozostałych kątów. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

1. Dane z własności trókąta prostokątego:
Kąt prosty: 90°
Kąty ostre: α oraz β
Wiemy, że: α + β = 90° oraz β = 90° - α 

Z treści zadania mamy: α = (90° + β):2




3. Obliczenia:

 β = 90° - α 
β = 90° -  (90° + β):2 /· 2

 2β = 180° - 90° - β

3β =  90° /:3 

β = 30°




4. Drugi kąt ostry:
α = 90° - 30° = 60°




Odp. Kąty trójkąta to 90°, 60° oraz 30°.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.28 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z geometrią

Zad.28 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"28. W pewnym trójkącie jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego i o 20° mniejszy od trzeciego. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi zawsze 180⁰

Dane:

Przyjmijmy jako x miarę drugiego (najmniejszego) kąta:

x — miara drugiego kąta,

2x — miara pierwszego kąta (jest 2 razy większy od drugiego),

2x + 20⁰ — miara trzeciego kąta (skoro pierwszy jest od niego o 20⁰ mniejszy, to trzeci jest o 20⁰ większy od pierwszego).

Równanie:

x + 2x + (2x + 20⁰) = 180⁰

5x + 20⁰ = 180⁰

5x = 180⁰ - 20⁰

5x = 160⁰

x = 32⁰

Obliczamy miary wszystkich kątów:

Drugi kąt: x =  32⁰

Pierwszy kąt: 2 · 32⁰ = 64⁰

Trzeci kąt: 64⁰ + 20⁰ = 84⁰

Odp. Miary kątów tego trójkąta to 32⁰, 64⁰ oraz 84⁰.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.27 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z geometrią

Zad.27 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"27. W pewnym trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę o 

$$

 mniejszą niż kąt przy podstawie. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

W trójkącie równoramiennym mamy dwa równe kąty przy podstawie oraz jeden kąt między ramionami (wierzchołkowy). Pamiętamy, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180⁰.

Dane:

x — miara kąta przy podstawie

x — miara drugiego kąta przy podstawie

x - 33⁰ — miara kąta między ramionami (o 33⁰ mniejszy)

Równanie:

x + x + (x - 33⁰) = 180⁰

3x - 33⁰ = 180⁰

3x = 180⁰ + 33⁰

3x = 213⁰

x = 71⁰

Obliczamy miary kątów:

Kąty przy podstawie: 71⁰

Kąt między ramionami: 71⁰ - 33⁰ = 38⁰

Odpowiedź: Kąty w tym trójkącie mają miary 71⁰, 71⁰ oraz 38⁰.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)