Zad.1 - 4 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą - Sprawdż czy umiesz!

Zad.1 - 4 str.203 "Matematyka z plusem 7" - Sprawdż czy umiesz!

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

x -  pierwsza (mniejsza) liczba 

x + 5 - druga liczba (o 5 większa) 

Układamy równanie:
x + (x + 5) = 29

2x + 5 = 29

2x = 24

x = 12

Pierwsza liczba: 12

Druga liczba: 12 + 5 = 17

Obliczenie iloczynu:

12 · 17 = 204

Odp. Prawidłowa odpowiedź to C. 204

t - cena lodów

1/2 t (lub 0,5t) - cena bitej śmietany (skoro lody są 2 razy droższe od bitej śmietany, to śmietana jest 2 razy tańsza od lodów) 
t - 5 - cena rodzynek (skoro lody są o 5 zł droższe od rodzynek, to rodzynki są o 5 zł tańsze od lodów) .

Suma cen tych trzech składników musi wynosić 11 zł, układamy równanie:
t + 1/2t + (t - 5) = 11

Odp. Prawidłowe równanie to D

s – wiek syna teraz

2s – wiek Pana Wojtka teraz

Cofnięcie się w czasie o 18 lat

s - 18 – wiek syna wtedy
2s - 18 – wiek Pana Wojtka wtedy

 Ułkładamy równanie z informacji o przeszłości
Wiemy, że 18 lat temu Pan Wojtek był 3 razy starszy od syna. 
Wiek ojca wtedy = 3 · (wiek syna wtedy)

2s - 18 = 3 · (s - 18)
2s - 18 = 3s - 54 (równanie odwracamy stronami)
3s - 2s = 54 - 18 
s = 36 

Syn ma teraz 36 lat.
Pan Wojtek ma teraz 72 lata.

Sprawdzenie odpowiedzi

Skoro syn ma 36 lat, a pełnoletność osiąga się w wieku 18 lat, to:
36 - 18 = 18 

Oznacza to, że syn jest pełnoletni od dokładnie 18 lat. 

Odp. Poprawna jest odpowiedź B

Zapisujemy wyrażenie na obwód trójkąta:

(3x - 4) + (3x - 4) + 4x = 50

Rozwiązujemy równanie, aby znaleźć x:
3x  -4 + 3x - 4 + 4x = 50
10x - 8 = 50

10x = 50 + 8
10x = 58 / :10

x = 5,8

Obliczamy długość podstawy AB:
AB = 4 · 5,8

AB = 23,2

Odpowiedź: Podstawa AB ma długość 23,2 (odpowiedź B)

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.36 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.36 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"36. Obwód czworokąta PRST jest pięć razy większy od długości przekątnej RT. Obwód trójkąta PRT jest równy 40, a obwód trójkąta RST jest równy 23. Jaką długość ma przekątna RT?"

Oznaczenia:

x - długość przekątnej RT

Obw PRST = 5x (zgodzinie z treścią zadania)

Analiza obwodów trójkątów:

Obwód trójkąta PRT to suma dwóch boków czworokąta oraz przekątnej x, mamy równanie PR + PT + x = 40

Obwód trójkąta RST to suma pozostałych dwóch boków czworokąta oraz przekątnej x, mamy równanie RS + ST + x = 23

Dodajemy obwody trójkątów:
jeśli dodamy do siebie obwody obu trójkątów, otrzymamy sumę wszystkich boków czworokąta oraz podwójną długość przekątnej x,

(PR + PT + x) + (RS + ST + x) = 40 + 23

(PR + PT + RS + ST) + 2x = 63

(PR + PT + RS + ST) = 63 - 2x

Podstawienie obwodu czworokąta:
Wiemy, że obwód czworokąta, to PR + PT + RS + ST to obwód czworokąta, który wynosi 5x, mamy więc (Obw PRST = 5x),

63 - 2x = 5x

5x + 2x = 63

7x = 63

Obliczenie x:

x = 63 : 7

x = 9

Odp. Przekątna RT ma długość 9.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.35 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.35 str.203 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

35. Z prostokąta, którego jeden bok jest półtora raza dłuższy od drugiego, odcięto dwa paski, każdy o szerokości 1cm.

Jeden pasek odcięto wzdłuż dłuższego boku, a drugi – wzdłuż krótszego. 

W otrzymanym prostokącie jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. 

Jakie wymiary ma otrzymany prostokąt?

Oznaczenia początkowe:

 x - krótszy bok wyjściowego prostokąta,
1,5x - dłuższy bok wyjściowego prostokąta.

Wymiary po odcięciu pasków:

nowy krótszy bok: x - 1cm

nowy dłuższy bok: 1,5x - 1cm

Układamy równanie:
wiemy, że w nowym prostokącie jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego,
1,5x - 1 = 2 · (x - 1)

Rozwiązanie równania:
1,5x - 1 = 2x - 2 

przenosimy niewiadome na jedną stronę,
2x - 1,5x = 2 - 1 

0,5x = 1 

x = 2

Obliczenie wymiarów otrzymanego prostokąta:

Pierwszy bok: x - 1cm = 2cm - 1cm = 1cm
Drugi bok: 1,5x - 1 = 1,5 · 2cm - 1cm = 3cm - 1cm = 2cm

Odp. Otrzymany prostokąt ma wymiary 1cm x 2cm.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.34 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.34 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

34. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach 6cm i 

5cm . 

Jaką wysokość powinien mieć ten prostopadłościan, aby pole jego powierzchni całkowitej było równe  280 cm²

Wypisujemy dane z zadania:

- krawędzie podstawy: a = 6 cm, b = 5 cm

- pole powierzchni całkowitej: Ppc = 280 cm²

- szukana wysokość: H = ?

Stosujemy wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

Ppc = 2 (a · b + a · H + b · H)

Podstawiamy dane do wzoru:

280 = 2 (6 · 5 + 6 · H + 5 · H)

Upraszczamy równanie:

280 = 2 (30 + 11 · H) 

dzielimy obie strony przez 2,

140 = 30 + 11 · H

Obliczamy wysokość H (odwracam równanie stronami):

przenosimy 30 na drugą stronę,

11 · H =140 - 30 

11· H = 110 

dzielimy przez 11,

H = 10 cm

Odp. Prostopadłościan powinien mieć wysokość 10 cm.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.33 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.33 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"33. Na rysunku obok trójkąt LNO

$$

 ma pole 3 razy mniejsze od pola trójkąta 

$$

LMN. Jaką długość ma odcinek 

$$

c?"

Analiza rysunku:

- podstawą obu trójkątów (LNO oraz LMN) jest wspólny odcinek LN o długości 12,

- wysokość trójkąta LNO opuszczona na tę podstawę to odcinek c,

- wysokość trójkąta LMN opuszczona na tę podstawę oznaczmy jako h,

- z rysunku wynika, że suma obu tych wysokości wynosi 16 (całkowita szerokość figury): h + c = 16

Wykorzystanie informacji o polach:

Pole trójkąta LNO = 1/2 · 12 · c = 6c

Pole trójkąta LMN = 1/2 · 12 · h = 6h

- wiemy, że pole LNO jest 3 razy mniejsze od pola LMN, co możemy zapisać:

Pole LMN = 3 · Pole LNO

6h = 3 · 6c

6h = 18c / : 6

h = 3c

Obliczenie wartości c:

Podstawiamy h = 3c do równania sumy wysokości h + c = 16:

3c + c = 16

4c = 16 / : 4

c = 4

Odp. Odcinek c ma długość 4.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.32 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.32 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

Czworokąt ABCD to kwadrat o boku 15, więc:

- podstawa dolna trapezu ABCE: |AB| = 15
- wysokość trapezu i trójkąta: h = 15
- odcinek |DE| = a
- podstawa górna trapezu ABCE: |EC| = 15 - a

Obliczenie pól powstałych figur:

Pole trójkąta AED:
P = 1/2 · |DE| · |AD| = 1/2 · a · 15 = 7,5a

Pole trapezu ABCE:
P = (|AB| + |EC| · h) / 2 = [(15 + (15 - a)) · 15] /2 = [(30 - a) · 15]/2 

Układamy równanie:

z treści zadania wiemy, że pole trapezu ma być 2 razy większe od pola trójkąta,
[(30 - a) · 15]/2  = 2 · 7,5a

[(30 - a) · 15]/2  = 15a

mnożymy obie strony przez 2 (aby pozbyc się z mianownika 2),

[(30 - a) · 15]/2  = 15a

teraz dzielimy obustronnnie przez 15,

(30 - a) · 15 = 30a /:15

30 - a = 2a

2a + a = 30

3a = 30 /:3

a = 10

Odp. Zadanie będzie prawdziwe, dla długości odcinka a wynoszącego 10.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.31 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.31 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

31. W trapezie o polu 18 cm² wysokość jest równa 3 cm, a jedna z podstaw jest o 5 cm krótsza od drugiej podstawy. 

Oblicz długości podstaw tego trapezu.

Oznaczenia i dane:
- pole trapezu: P = 18 cm2
- wysokość: h = 3 cm
- dłuższa podstawa: a
- krótsza podstawa: b = a - 5

Wzór na pole trapezu:
P = [(a + b) × h] / 2

Podstawiamy dane i rozwiązujemy równanie:

18 = [(a + a - 5) × 3] / 2

- nożymy obie strony przez 2,
36 = (2a - 5) × 3

- dzielimy przez 3,
12 = 2a - 5
17 = 2a
a = 8,5 cm




Obliczamy drugą podstawę:

b = 8,5 - 5 = 3,5 cm




Odp. Podstawy trapezu mają długości 8,5 cm oraz 3,5 cm.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.30 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.30 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

Jaką długość powinien mieć odcinek b, aby pole trapezu FKHI było o 90 większe od pola kwadratu FGHI?

Różnica między polem trapezu a polem kwadratu to pole trójkąta prostokątnego GKH o podstawie b i wysokości 15.

Dane:
- wysokość trójkąta (bok kwadratu): h = 15
- podstawa trójkąta: b
- wymagane dodatkowe pole: P = 90

Równanie (Pole trójkąta):
P = ½ × b × h 

90 = ½ × b × 15




Obliczenia:
- pmnóżmy przez 2, 

180 = 15 × b

- podzielmy przez 15,

b = 180 / 15




b = 12




Odp. Odcinek b powinien mieć długość 12.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.29 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.29 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"29. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 2 razy mniejszą niż suma miar dwóch pozostałych kątów. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

1. Dane z własności trókąta prostokątego:
Kąt prosty: 90°
Kąty ostre: α oraz β
Wiemy, że: α + β = 90° oraz β = 90° - α 

Z treści zadania mamy: α = (90° + β):2




3. Obliczenia:

 β = 90° - α 
β = 90° -  (90° + β):2 /· 2

 2β = 180° - 90° - β

3β =  90° /:3 

β = 30°




4. Drugi kąt ostry:
α = 90° - 30° = 60°




Odp. Kąty trójkąta to 90°, 60° oraz 30°.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.28 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z geometrią

Zad.28 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"28. W pewnym trójkącie jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego i o 20° mniejszy od trzeciego. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi zawsze 180⁰

Dane:

Przyjmijmy jako x miarę drugiego (najmniejszego) kąta:

x — miara drugiego kąta,

2x — miara pierwszego kąta (jest 2 razy większy od drugiego),

2x + 20⁰ — miara trzeciego kąta (skoro pierwszy jest od niego o 20⁰ mniejszy, to trzeci jest o 20⁰ większy od pierwszego).

Równanie:

x + 2x + (2x + 20⁰) = 180⁰

5x + 20⁰ = 180⁰

5x = 180⁰ - 20⁰

5x = 160⁰

x = 32⁰

Obliczamy miary wszystkich kątów:

Drugi kąt: x =  32⁰

Pierwszy kąt: 2 · 32⁰ = 64⁰

Trzeci kąt: 64⁰ + 20⁰ = 84⁰

Odp. Miary kątów tego trójkąta to 32⁰, 64⁰ oraz 84⁰.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.27 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z geometrią

Zad.27 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"27. W pewnym trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę o 

$$

 mniejszą niż kąt przy podstawie. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

W trójkącie równoramiennym mamy dwa równe kąty przy podstawie oraz jeden kąt między ramionami (wierzchołkowy). Pamiętamy, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180⁰.

Dane:

x — miara kąta przy podstawie

x — miara drugiego kąta przy podstawie

x - 33⁰ — miara kąta między ramionami (o 33⁰ mniejszy)

Równanie:

x + x + (x - 33⁰) = 180⁰

3x - 33⁰ = 180⁰

3x = 180⁰ + 33⁰

3x = 213⁰

x = 71⁰

Obliczamy miary kątów:

Kąty przy podstawie: 71⁰

Kąt między ramionami: 71⁰ - 33⁰ = 38⁰

Odpowiedź: Kąty w tym trójkącie mają miary 71⁰, 71⁰ oraz 38⁰.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.26 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.26 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"26. Sen miałem dziwny. A tak to było: W tłumie kosmitów na placu stałem. Dwieście ich oczu na mnie patrzyło [...]. Kilku z nas ma, jak ty, oczu parę. O siedmiu więcej ma ich dwie pary. A czworo oczu ponad twą miarę mam ja, ma brat mój i ojciec stary. Połowę grupy już omówiłem, reszta mych druhów ma oko jedno. Z jak liczną grupą tutaj przybyłem?"

Przyjmijmy, że:

k – liczba kosmitów z parą oczu (czyli mają po 2 oczy),

k + 7 – liczba kosmitów z dwiema parami (czyli mają po 4 oczy),

3 – liczba kosmitów mających o 4 więcej niż człowiek (czyli 2 + 4 = 6 oczu; są to: mówiący, brat i ojciec).

Krok 1: Obliczamy, ilu kosmitów stanowi połowę grupy

Suma wymienionych wyżej grup to połowa wszystkich kosmitów

Połowa grupy = k + (k + 7) + 3 = 2k + 10

Krok 2: Określamy drugą połowę

Druga połowa grupy ma taką samą liczebność (2k + 10), a każdy z nich ma po 1 oku.

Krok 3: Układamy równanie dla łącznej liczby oczu (200)

Sumujemy oczy wszystkich grup

2 · k + 4 · (k + 7) + 6 · 3 + 1 · (2k + 10) = 200

2k + 4k + 28 + 18 + 2k + 10 = 200

8k + 56 = 200

8k = 144

k = 18

Krok 4: Obliczamy wielkość grupy x

Wiemy, że połowa grupy to 2k + 10

Połowa = 2 · 18 + 10 = 36 + 10 = 46 osób.

Cała grupa x to:

46 · 2 = 92

Odp. Kosmici przybyli w grupie liczącej 92 osoby.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.25 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.25 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"*25. Gdy pan N. A. Iwniak zaczynał grę z panem O. Szustem, miał tyle samo gotówki co on. Na początku wygrał 20 zł, ale potem przegrał dwie trzecie tego, co posiadał. W rezultacie miał cztery razy mniej pieniędzy niż O. Szust. Z jaką kwotą obaj panowie rozpoczynali grę?"

Przyjmijmy, że x to kwota, z którą każdy z panów zaczynał grę.

Sytuacja pana N. A. Iwniaka:

- miał na początku: x,

- po wygraniu 20 zł: x + 20,

- przegrał 2/3 tego stanu, więc została mu jedna trzecia: 1/3(x + 20).

Sytuacja pana O. Szusta:

- miał na początku: x

- skoro Iwniak najpierw wygrał od niego 20 zł, a potem Iwniak przegrał (czyli Szust odrobił) 2/3  stanu posiadania Iwniaka, najprościej obliczyć jego stan jako całość pieniędzy minus to, co zostało Iwniakowi,

 - łączna kwota obu panów to 2x. Zatem stan Szusta to: 2x – 1/3(x + 20)

Rozwiązanie

Z treści wiemy, że na końcu Iwniak miał 4 razy mniej pieniędzy niż Szust (czyli Szust miał 4 razy więcej):

4 · 1/3(x + 20) = 2x – 1/3(x + 20)

4 · 1/3(x + 20) + 1/3(x + 20) = 2x

5 · 1/3(x + 20) = 2x

Mnożymy przez 3, aby pozbyć się mianownika:

5(x + 20) = 6x

5x + 100 = 6x

100 = 6x - 5x

x = 100

Odp. Obaj panowie rozpoczynali grę z kwotą 100 zł.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.24 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.24 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :) 

"24. Krzyś postanowił, że będzie czytał po 40 stron książki dziennie. Niestety, czytał tylko 30 stron dziennie i przeczytanie całej książki zabrało mu 3 dni więcej, niż planował. W ciągu ilu dni Krzyś przeczytał całą książkę? Ile stron liczyła owa lektura?"

Przyjmijmy:

x — planowana liczba dni czytania

x + 3 — rzeczywista liczba dni czytania (o 3 więcej)

Liczba stron w książce jest taka sama w obu przypadkach:

plan: 40x,

rzeczywistość: 30 (x + 3).

Układamy równanie:

40x = 30(x + 3)

40x = 30x + 90

40x - 30x = 90

10x = 90

x = 9 (to była planowana liczba dni)

Czas czytania: Krzyś czytał książkę przez x + 3, czyli 9 + 3 = 12

Liczba stron: Książka miała 40 · 9 = 360 (możesz też sprawdzić: 30 · 12 = 360).

Odp. Krzyś przeczytał książkę w ciągu 12 dni, a lektura liczyła 360 stron.

.........

Dziękuję i zapraszam :)