Zad.28 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z geometrią

Zad.28 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"28. W pewnym trójkącie jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego i o 20° mniejszy od trzeciego. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi zawsze 180⁰

Dane:

Przyjmijmy jako x miarę drugiego (najmniejszego) kąta:

x — miara drugiego kąta,

2x — miara pierwszego kąta (jest 2 razy większy od drugiego),

2x + 20⁰ — miara trzeciego kąta (skoro pierwszy jest od niego o 20⁰ mniejszy, to trzeci jest o 20⁰ większy od pierwszego).

Równanie:

x + 2x + (2x + 20⁰) = 180⁰

5x + 20⁰ = 180⁰

5x = 180⁰ - 20⁰

5x = 160⁰

x = 32⁰

Obliczamy miary wszystkich kątów:

Drugi kąt: x =  32⁰

Pierwszy kąt: 2 * 32⁰ = 64⁰

Trzeci kąt: 64⁰ + 20⁰ = 84⁰

Odpowiedź: Miary kątów tego trójkąta to 32⁰, 64⁰ oraz 84⁰.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.27 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą z geometrią

Zad.27 str.202 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"27. W pewnym trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę o 

$$

 mniejszą niż kąt przy podstawie. Oblicz miary kątów tego trójkąta."

W trójkącie równoramiennym mamy dwa równe kąty przy podstawie oraz jeden kąt między ramionami (wierzchołkowy). Pamiętamy, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180⁰.

Dane:

x — miara kąta przy podstawie

x — miara drugiego kąta przy podstawie

x - 33⁰ — miara kąta między ramionami (o 33⁰ mniejszy)

Równanie:

x + x + (x - 33⁰) = 180⁰

3x - 33⁰ = 180⁰

3x = 180⁰ + 33⁰

3x = 213⁰

x = 71⁰

Obliczamy miary kątów:

Kąty przy podstawie: 71⁰

Kąt między ramionami: 71⁰ - 33⁰ = 38⁰

Odpowiedź: Kąty w tym trójkącie mają miary 71⁰, 71⁰ oraz 38⁰.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.26 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.26 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"26. Sen miałem dziwny. A tak to było: W tłumie kosmitów na placu stałem. Dwieście ich oczu na mnie patrzyło [...]. Kilku z nas ma, jak ty, oczu parę. O siedmiu więcej ma ich dwie pary. A czworo oczu ponad twą miarę mam ja, ma brat mój i ojciec stary. Połowę grupy już omówiłem, reszta mych druhów ma oko jedno. Z jak liczną grupą tutaj przybyłem?"

Przyjmijmy, że:

k – liczba kosmitów z parą oczu (czyli mają po 2 oczy),

k + 7 – liczba kosmitów z dwiema parami (czyli mają po 4 oczy),

3 – liczba kosmitów mających o 4 więcej niż człowiek (czyli 2 + 4 = 6 oczu; są to: mówiący, brat i ojciec).

Krok 1: Obliczamy, ilu kosmitów stanowi połowę grupy

Suma wymienionych wyżej grup to połowa wszystkich kosmitów

Połowa grupy = k + (k + 7) + 3 = 2k + 10

Krok 2: Określamy drugą połowę

Druga połowa grupy ma taką samą liczebność (2k + 10), a każdy z nich ma po 1 oku.

Krok 3: Układamy równanie dla łącznej liczby oczu (200)

Sumujemy oczy wszystkich grup

2 * k + 4 * (k + 7) + 6 * 3 + 1 * (2k + 10) = 200

2k + 4k + 28 + 18 + 2k + 10 = 200

8k + 56 = 200

8k = 144

k = 18

Krok 4: Obliczamy wielkość grupy x

Wiemy, że połowa grupy to 2k + 10

Połowa = 2 * 18 + 10 = 36 + 10 = 46 osób.

Cała grupa x to:

46 * 2 = 92

Odpowiedź: Kosmici przybyli w grupie liczącej 92 osoby.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.25 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.25 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"*25. Gdy pan N. A. Iwniak zaczynał grę z panem O. Szustem, miał tyle samo gotówki co on. Na początku wygrał 20 zł, ale potem przegrał dwie trzecie tego, co posiadał. W rezultacie miał cztery razy mniej pieniędzy niż O. Szust. Z jaką kwotą obaj panowie rozpoczynali grę?"

Przyjmijmy, że x to kwota, z którą każdy z panów zaczynał grę.

Sytuacja pana N. A. Iwniaka:

- miał na początku: x,

- po wygraniu 20 zł: x + 20,

- przegrał 2/3 tego stanu, więc została mu jedna trzecia: 1/3(x + 20).

Sytuacja pana O. Szusta:

- miał na początku: x

- skoro Iwniak najpierw wygrał od niego 20 zł, a potem Iwniak przegrał (czyli Szust odrobił) 2/3  stanu posiadania Iwniaka, najprościej obliczyć jego stan jako całość pieniędzy minus to, co zostało Iwniakowi,

 - łączna kwota obu panów to 2x. Zatem stan Szusta to: 2x – 1/3(x + 20)

Rozwiązanie

Z treści wiemy, że na końcu Iwniak miał 4 razy mniej pieniędzy niż Szust (czyli Szust miał 4 razy więcej):

4 * 1/3(x + 20) = 2x – 1/3(x + 20)

4 * 1/3(x + 20) + 1/3(x + 20) = 2x

5 * 1/3(x + 20) = 2x

Mnożymy przez 3, aby pozbyć się mianownika:

5(x + 20) = 6x

5x + 100 = 6x

100 = 6x - 5x

x = 100

Odp. Obaj panowie rozpoczynali grę z kwotą 100 zł.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.24 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.24 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :) 

"24. Krzyś postanowił, że będzie czytał po 40 stron książki dziennie. Niestety, czytał tylko 30 stron dziennie i przeczytanie całej książki zabrało mu 3 dni więcej, niż planował. W ciągu ilu dni Krzyś przeczytał całą książkę? Ile stron liczyła owa lektura?"

Przyjmijmy:

x — planowana liczba dni czytania

x + 3 — rzeczywista liczba dni czytania (o 3 więcej)

Liczba stron w książce jest taka sama w obu przypadkach:

plan: 40x,

rzeczywistość: 30 (x + 3).

Układamy równanie:

40x = 30(x + 3)

40x = 30x + 90

40x - 30x = 90

10x = 90

x = 9 (to była planowana liczba dni)

Czas czytania: Krzyś czytał książkę przez x + 3, czyli 9 + 3 = 12

Liczba stron: Książka miała 40 * 9 = 360 (możesz też sprawdzić: 30 *12 = 360).

Odpowiedź: Krzyś przeczytał książkę w ciągu 12 dni, a lektura liczyła 360 stron.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.23 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.23 str.201 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

Dane:

x — wiek Jurka

2x — wiek cioci Asi (2 razy starsza od Jurka)

3x — wiek stryjenki Michasi (3 razy starsza od Jurka)

Układamy równanie:

Z wypowiedzi dziadka wiemy, że jego wiek można zapisać na dwa sposoby:

jako wiek cioci Asi + 10 lat: 2x + 10,

jako wiek stryjenki Michasi - 20 lat: 3x - 20.

Skoro to ten sam dziadek, te wartości muszą być równe:

3x - 20 = 2x + 10

Rozwiązanie:

- przenosimy niewiadome na jedną stronę

3x - 2x = 10 + 20,

- otrzymujemy wynik

x = 30 (wiek Jurka).

Obliczenie wieku dziadka:

- podstawiamy 30 pod dowolny wzór na wiek dziadka

2 * 30 + 10 = 60 + 10 = 70.

Odpowiedź: Jurek ma 30 lat, a dziadek ma 70 lat.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.*22 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.22 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"*22. 4 lata temu byłem 4 razy młodszy od mamy, a 10 lat temu byłem od niej młodszy 10 razy. Ile lat ma autor wypowiedzi?"

Przyjmijmy, że x to wiek autora 4 lata temu.

4 lata temu:

Autor: x

Mama: 4x(bo była 4 razy starsza)

10 lat temu (czyli o kolejne 6 lat wcześniej niż punkt powyżej):

Autor: x - 6

Mama: 4x - 6

Układamy proste równanie (wiemy, że wtedy mama była 10 razy starsza):

4x - 6 = 10 * (x - 6)

Rozwiązujemy równanie:

4x - 6 = 10x - 60

60 - 6 = 10x - 4x

54 = 6x

x = 9

Wynik:

Skoro 4 lata temu autor miał 9 lat, to teraz ma:

9 + 4 = 13 lat

Odp. Autor ma 13 lat. 

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.21 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.21 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :) 

Dane:

x – obecny wiek Grzesia

x - 3 – wiek Grzesia 3 lata temu

x + 3 – wiek Grzesia za 3 lata

Równanie:

x + 3 = 3 * (x - 3)

Rozwiązanie:

- mnożymy nawias przez 3

x + 3 = 3x – 9,

- przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą

3 + 9 = 3x - x

12 = 2x,

- dzielimy przez 2

x = 6.

Odpowiedź: Grześ ma 6 lat.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.20 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.20 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"20.  Teraz jestem siedem razy starsza od mojej córki. Za 20 lat będę od niej dwa razy starsza - powiedziała pewna pani. Ile lat ma ta pani?"

Przyjmijmy oznaczenia dla obecnego wieku:

x – obecny wiek córki

7x – obecny wiek pani (mamy)

Zapisujemy, ile lat będą miały za 20 lat:

Córka: x + 20

Pani: 7x + 20

Z treści wiemy, że za 20 lat pani będzie dwa razy starsza od córki. Układamy równanie:

7x + 20 = 2 * (x + 20)

- mnożymy nawias

7x + 20 = 2x + 40,

- przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę

7x - 2x = 40 - 20

5x = 20,

- dzielimy przez 5

x = 4 (to obecny wiek córki).

Obliczamy wiek pani:

7 * 4 = 28

Odpowiedź: Ta pani ma 28 lat.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.19 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.19 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"19. Ile złotych kieszonkowego po podwyżce będzie dostawać Kasia (zob. rysunek)?"

Przyjmijmy oznaczenia:

 x – kwota kieszonkowego przed podwyżką (miesięcznie)

 x + 2,5 zł – kwota kieszonkowego po podwyżce (miesięcznie)

Z myśli Kasi układamy równanie (4 miesiące z nową kwotą to tyle samo co 5 miesięcy ze starą kwotą:

4 * (x + 2,5) = 5x

Rozwiązujemy rozwiązanie:

4x + 10 = 5x

- przenosimy niewiadome na jedną stronę,

5x - 4x = 10

x = 10

Mamy już kwotę sprzed podwyżki (

 zł), ale pytanie brzmi: ile Kasia będzie dostawać po podwyżce.

- obliczamy nową kwotę: 10 + 2,5 = 12,5

Odpowiedź: Po podwyżce Kasia będzie dostawać 12,50 złotych kieszonkowego.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.18 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.18 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"18. Siedziały wróble na strachu na wróble. Początkowo na lewym ramieniu siedziało dwa razy więcej wróbli niż na prawym. Potem cztery wróble przeniosły się z lewego ramienia na prawe i wówczas po obu stronach było tyle samo wróbli. Ile wróbli siedziało na strachu na wróble?"

Przyjmijmy oznaczenia:

x – początkowa liczba wróbli na prawym ramieniu

2x – początkowa liczba wróbli na lewym ramieniu (dwa razy więcej)

Zapisujemy sytuację po przelocie 4 wróbli:

Z lewego ramienia ubyły 4: 2x - 4

Na prawym ramieniu przybyły 4: x + 4

Skoro po tej zmianie liczba wróbli na obu ramionach jest taka sama, układamy równanie:

2x - 4 = x + 4

Kroki rozwiązania:

 - przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą,

2x - x = 4 + 4

 -obliczamy x,

x = 8

Obliczamy łączną liczbę wróbli:

Początkowo na prawym ramieniu: 8 wróbli

Początkowo na lewym ramieniu (2 * 8): 16 wróbli

Suma wszystkich wróbli: 8 + 16 = 24

Odpowiedź: Na strachu na wróble siedziały łącznie 24 wróble.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.17 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.17 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"17. Agnieszka i Jacek zbierali kasztany. Jacek uzbierał 3 razy więcej kasztanów niż Agnieszka. Gdyby oddał Agnieszce 15 z nich, to oboje mieliby tyle samo kasztanów. Ile kasztanów ma Agnieszka, a ile Jacek?"

Przyjmijmy oznaczenia:

x – liczba kasztanów Agnieszki

3x – liczba kasztanów Jacka (bo ma 3 razy więcej)

Zapisujemy sytuację "gdyby":

Jacek oddaje 15: 3x - 15

Agnieszka dostaje 15: x + 15

Ponieważ po tej wymianie mieliby tyle samo, układamy równanie:
3x - 15 = x + 15

Kroki rozwiązania:

- przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą,
3x - x = 15 + 15

- redukujemy wyrazy,
2x = 30

- dzielimy przez 2,
x = 15

Obliczamy liczbę kasztanów dla każdego:

Agnieszka (x): 15

Jacek (3x): 3 · 15 = 45

Sprawdzenie:
Gdy Jacek odda 15 ze swoich 45, zostanie mu 30.

Agnieszka po otrzymaniu 15 do swoich 15 też będzie miała 30 - wyniki są równe.

Odp. Agnieszka ma 15 kasztanów, a Jacek ma 45 kasztanów.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.16 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.16 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"16. Szymon zdobył 54 punkty ze sprawdzianu składającego się z piętnastu zadań. Za każdą dobrą odpowiedź otrzymywał 5 punktów, a za złą lub brak odpowiedzi tracił 2 punkty. Ile zadań rozwiązał prawidłowo?"

Przyjmijmy oznaczenia:

x – liczba zadań rozwiązanych prawidłowo

15 - x – liczba zadań rozwiązanych źle lub brak odpowiedzi (bo wszystkich zadań było 15)

Układamy równanie na podstawie zdobytych punktów (54):
5 · x - 2 · (15 - x) = 54

Kroki rozwiązania:

- mnożymy nawias,

5x - 30 + 2x = 54

- porządkujemy niewiadome i liczby,

7x - 30 = 54
7x = 54 + 30
7x = 84

 - obliczamy x,
x = 84 : 7
x = 12

Sprawdzenie:

Dobre odpowiedzi: 12 · 5 pkt = 60 pkt
Złe odpowiedzi/brak: (15 - 12) · 2 pkt = 3 · 2 pkt = 6 pkt (strata)
Razem: 60 - 6 = 54 punkty.

Odpowiedź: Szymon rozwiązał prawidłowo 12 zadań.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.15 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Zad.15 str.200 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"15. Koszykarze podczas pewnego meczu wykonali łącznie 37 skutecznych rzutów za 2 i za 3 punkty, zdobywając łącznie 82 punkty. Ile było rzutów za 2 punkty, a ile — za 3 punkty?"

Przyjmijmy oznaczenia:

x – liczba rzutów za 2 punkty

37 - x – liczba rzutów za 3 punkty (bo wszystkich rzutów było 37)

Układamy równanie na podstawie łącznej liczby punktów (82):

2 · x + 3 · (37 - x) = 82

Kroki rozwiązania:

Mnożymy nawias przez 3,

2x + 111 - 3x = 82

Redukujemy niewiadome (2x - 3x),

-x + 111 = 82

Przenosimy 111 na prawą stronę (zmieniając znak),

-x = 82 - 111

-x = -29

Mnożymy przez -1, aby otrzymać dodatni wynik,

x = 29

Obliczamy liczbę rzutów:

Rzuty za 2 punkty (x): 29

Rzuty za 3 punkty (37 - 29): 8

Sprawdzenie:

29 · 2 + 8 · 3 = 58 + 24 = 82 punkty. 

Wszystko się zgadza.

Odp. Koszykarze wykonali 29 rzutów za 2 punkty oraz 8 rzutów za 3 punkty.

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.14 str.199 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.14 str.199 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"14. Hrabia Barszczyk wezwał swoich poddanych do zbierania grzybów.
Ogłoszenie: Za każdy przyniesiony mi grzyb jadalny zapłacę talara, ale za każdy grzyb trujący odbiorę 3 talary.
Antek przyniósł hrabiemu 50 grzybów i zarobił 18 talarów. Ile zebrał grzybów jadalnych, a ile trujących?"

Przyjmijmy oznaczenia:

x – liczba grzybów jadalnych
50 - x – liczba grzybów trujących (bo wszystkich było 50)

Zasady zapłaty:

za jadalne: +1 * x
za trujące: -3 * (50 - x)

Układamy równanie na podstawie zarobku (18 talarów):

x - 3(50 - x) = 18

- mnożymy nawias,

x - 150 + 3x = 18

- porządkujemy niewiadome i liczby,

4x - 150 = 18

 4x = 18 + 150

 4x = 168

- obliczamy x i dzielimy obustronnie prez 4:

x = 42

Liczba grzybów:

Jadalne: x = 42
Trujące: 50 - 42 = 8

Odpowiedź: Antek zebrał 42 grzyby jadalne i 8 grzybów trujących.

.........

Dziękuję i zapraszam :)

Zad.13 str.199 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

 Zad.13 str.199 "Matematyka z plusem 7" - zadania z treścią z jedną niewiadomą

Proszę najpierw wykonać samodzielnie zadania, a potem sprawdzić z rozwiązaniem. :)

"13. Kolejka elektryczna jadąca z Gdańska do Gdyni zatrzymuje się na kilkunastu stacjach, między innymi w Oliwie i w Sopocie. Oblicz, jak długo kolejka elektryczna jedzie z Gdańska Głównego do Gdyni Głównej, jeśli wiadomo, że:
jedną czwartą tego czasu jedzie z Oliwy do Sopotu,
z Gdańska do Sopotu jedzie 21 min, z Oliwy do Gdyni jedzie 19 min."

Przyjmijmy oznaczenia:

x – całkowity czas przejazdu z Gdańska do Gdyni (w minutach),

1/4x – czas przejazdu z Oliwy do Sopotu.

Zauważmy, że jeśli dodamy czas z Gdańska do Sopotu (21 min) oraz czas z Oliwy do Gdyni (19 min), to odcinek Oliwa – Sopot zostanie policzony dwa razy. Całość będzie więc równa całkowitemu czasowi przejazdu (x) plus jeden nadmiarowy odcinek Oliwa – Sopot (1/4).

Układamy równanie:
21 + 19 = x + 1/4x

- redukujemy wyrazy podobne,

40 = 1 1/4x

40 = 5/4x

- mnożymy obie strony przez 4, aby pozbyć się mianownika,

 160 = 5x

- dzielimy przez 5,

x = 32

Odp. Kolejka elektryczna jedzie z Gdańska Głównego do Gdyni Głównej 32 minuty.

• .........
  Dziękuję i zapraszam :)