ROZWIĄZANIA KROK PO KROKU Arkusza Maturalnego MATEMATYKA 5 maja 2026 - Poziom podstawowy

Wszystkie rozwiązania KROK PO KROKU - ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI  MAJ 2026 CKE - poziom podstawowy

Zad.1 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.2 Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:

Zad.3 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba √5√5 jest równa:

Zad.4 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.5 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zad.6 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.7 Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏 liczba 𝟕𝒏 do kwadratu +𝟐𝟏𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟒.

Zad.8 Dane jest równanie

3(𝑥+3)(𝑥−𝑚)(2𝑥+4)=0

gdzie 𝑥 jest niewiadomą, natomiast 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą.

Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 𝑚 jest równa:

Zad.9 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem równania jest liczba:

Zad.10 Rozwiąż nierówność.

Zad.11 Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika. 

Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.

Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Zad.12 Funkcja 𝑓 jest określona następująco:

𝑓(𝑥)={ 𝑥+2dla 𝑥∈[−4,2]

            −𝑥+5dla 𝑥∈(2,5)

Wykres funkcji 𝑦=𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) na rysunku poniżej.

Zad.12.1 Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Rozwiązaniem równania 𝑓(𝑥)=3 jest liczba 1.

2. Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [2,3] jest równa 4.

Zad.12.2 Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział [-2,4].

2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości większe od 1, jest przedział (-1,4).

Zad.13 Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) przedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji 𝑓 jest nachylony do osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych pod kątem o mierze 𝛼 (zobacz rysunek).

Zad.13.1  Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zad.13.2  Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta o mierze 𝛼 jest równy:

Zad.14 W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola o wierzchołku w punkcie 𝑊=(3,−2).

Funkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+1).

Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔 jest liczba 0.

Wyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Zad.15 Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛=3𝑛+5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.

Trzywyrazowy ciąg (𝑎1 ,𝑎9 ,𝑎𝑘) jest geometryczny.

Oblicz 𝒌. Zapisz obliczenia.

Zad.16 Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.

W tym ciągu 𝑎1=1 oraz 𝑎5=17.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziewiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy:

Zad.17 Ciąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek 𝑎3⋅𝑎6=18.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn 𝑎2⋅𝑎7 jest równy ……… .

Zad.18 Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐴𝐶 jest przeciwprostokątną oraz

|𝐵𝐶|=2 i |𝐴𝐶|=2√10. Oznaczmy kąt 𝐵𝐶𝐴 przez 𝛾 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta 𝛾 jest równy:

Zad.19 Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Punkt 𝐵 leży na krótszym łuku 𝐴𝐶.

Kąt 𝐶𝐷𝐴 ma miarę 50°, a kąt 𝐶𝑂𝐵 ma miarę 30° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego 𝐵𝑂𝐴 jest równa:

Zad.20 Na płaszczyźnie dane są cztery proste: 𝑘, 𝑙, 𝑚 oraz 𝑛. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe.

Prosta 𝑚 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach – odpowiednio – 𝐴 oraz 𝐶.

Prosta 𝑛 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach – odpowiednio – 𝐷 oraz 𝐵.

Odcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂.

Ponadto |𝑂𝐴|=12, |𝑂𝐵|=6 oraz |𝑂𝐶|=8 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek 𝑂𝐷 ma długość:

Zad. 21 Dany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀|=𝑎 oraz |𝐿𝑀|=𝑏.

Dwusieczna kąta 𝐿𝑀𝐾 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta 𝑲𝑵𝑴 do pola trójkąta 𝑵𝑳𝑴 jest równy 𝒂/𝒃.

Zad.22 W okrąg 𝒪 o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny 𝒯.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta 𝒯 ma długość ……… .

Zad.23 Kąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek (3sin𝛼 + 4cos𝛼)/4cos𝛼 = 6.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta 𝛼 jest równy:

Zad.24 W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) punkty 𝐴=(0,−3), 𝐵=(2,1) oraz 𝐶=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Zad.24.1 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe:

Zad.24.2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Środek okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶 ma współrzędne:

Zad.25 W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie 𝑆=(1,−3) i o promieniu 5.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. 

Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zad.26 W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦=−1/3𝑥+2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2,−2).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie:

Zad.27 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3.

Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Zad.28 Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy:

Zad.29 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest:

Zad.30 Dane są dwa zbiory cyfr: 𝑋={1,3,5,7,9} oraz 𝑌={0,2,4,6,8}.

Losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑌.

Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru 𝑋 jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru 𝑌 jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 𝟔. Zapisz obliczenia.

Zad.31 Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.

Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zad.32 Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 2.

Średnia arytmetyczna czterech liczb: 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa 5,5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa:

Zad.33. W chwili 𝑡=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.

Przyjmijmy, że wysokość ℎ, na której znajduje się piłeczka w danej chwili 𝑡, jest określona wzorem

ℎ(𝑡)=−4,9𝑡 do kwadratu +14,7𝑡

gdzie:

• czas 𝑡 jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię

• wysokość ℎ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Zad.33.1 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Zad.33.2  Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili:

 .........

Dziękuję i zapraszam :)