ARKUSZ POWTÓRKOWY 5 kl. 8 - równania i proporcje: 15 zadań + rozwiązania

🧠 RÓWNANIA I PROPORCJE NA EGZAMINIE ÓSMOKLASISTY – GOTOWY ARKUSZ POWTÓRKOWY! 📐

Równania, wiek osób, skala, procenty czy proporcje to klasyki, które regularnie pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty. Chcesz pewnie i bezstresowo utrwalić ten materiał ze swoimi uczniami lub dzieckiem?

Arkusz powtórkowy równania i proporcje, w pełni dopasowany do standardów CKE.

🎯 CO ZNAJDZIESZ W ŚRODKU?

• Przekrój najważniejszych zagadnień: równania z jedną niewiadomą, równania tożsamościowe i sprzeczne, podział w stosunku liczbowym, skala, zadania tekstowe (o wieku, zakupach, zużyciu paliwa). 

• Szczegółowy klucz i schemat oceniania: krok po kroku wyjaśnione rozwiązania zadań otwartych wraz z punktacją, co ułatwia szybką i bezproblemową weryfikację prac.

• Tabelę badanych umiejętności CKE: przejrzyste podsumowanie wymagań ogólnych i szczegółowych dla każdego zadania.

💡 DLACZEGO WARTO GO KUPIĆ?

1. Gotowiec na lekcje i korepetycje: Oszczędzasz czas na przygotowaniu zadań – otrzymujesz profesjonalnie sformatowany plik gotowy do powielenia.

2. Pewność zgodności z CKE: Układ i struktura zadań idealnie odzwierciedlają prawdziwy arkusz egzaminacyjny.

3. Wszechstronne zastosowanie: Świetne narzędzie do przeprowadzenia klasówki, diagnozy, powtórki przedegzaminacyjnej lub do samodzielnej nauki w domu.

📋 PARAMETRY ARKUSZA:

• 📝 Liczba zadań: 15 zadań (11 zadań zamkniętych ABCD oraz P/F + 4 zadania otwarte z miejscem na obliczenia)

• 📄 Liczba stron: 8 stron (w tym arkusz dla ucznia, klucz odpowiedzi, pełne rozwiązania krok po kroku oraz tabela wymagań CKE)

• 📁 Format: PDF (gotowy do natychmiastowego druku)

• 💯 Maksymalna liczba punktów: 21 pkt

🛒 Zadbaj o opanowanie równań i proporcji na 100%!

Link do sklepu: https://www.naffy.io/matematykauczy/5-arkusz-powtorkowu-rownania-i-proporcje-rozwiazania-esj

Potrzebujesz więcej zadań z tych tematów? 

Zobacz zestaw kompleksowy: 45 zadań powtórkowych 

Poprzedni z serii: Arkusz 4, wyrażenia algebraiczne.

🙌 Jesteś rodzicem, nauczycielem albo ósmoklasistą? 

To materiał dla Ciebie, skuteczne zadania przećwiczone z moimi uczniami. :)

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Egzamin ósmoklasisty z matematyki MAJ 2026 CKE - rozwiązania KROK PO KROKU

Wszystkie rozwiązania KROK PO KROKU - ARKUSZA EGZAMINU ÓSMOKLASISTY MAJ 2026 CKE

📌 Chcesz poćwiczyć więcej? 

Pobierz pełne tematyczne ARKUSZE POWTÓRKOWE z każdego działu + odpowiedziami i rozwiązaniami! Kupisz go bezpiecznie bezpośrednio u mnie KLIKNIJ TUTAJ I SPRAWDŹ.

Zad.1 Test z matematyki składa się z 40 zadań. Na diagramie przedstawiono procentowy podział liczby zadań w teście na zadania z pięciu działów: algebry, planimetrii, stereometrii, arytmetyki, statystyki. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba zadań z arytmetyki w tym teście jest równa:

Egzamin próbny ósmoklasisty styczeń 2026 z matematyki CKE - rozwiązania KROK PO KROKU

Wszystkie rozwiązania KROK PO KROKU - ARKUSZA PRÓBNEGO  EGZAMINU ÓSMOKLASISTY z CKE - styczeń 2026 roku.

Rozwiązania KROK PO KROKU i odpowiedzi do EGZAMINU ÓSMOKLASISTY, termin DODATKOWY z 11 czerwca 2025 roku.

Zad.1 Robert rozpoczął czytanie książki we wtorek i zakończył w sobotę. W tabeli podano liczbę stron, które Robert przeczytał w kolejnych dniach tygodnia od wtorku do piątku.  

Robert czytał dziennie średnio 60 stron tej książki. Ile stron tej książki Robert przeczytał w sobotę? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.2 Zapisywano kolejno liczby według następującej zasady: • liczbę 6 zapisano jako pierwszą • każda następna zapisana liczba była połową liczby poprzedniej. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 

Zad.3  Martyna przez 20 minut słuchała kolejno nagrań ćwiczeń językowych. Czas odtwarzania nagrania każdego ćwiczenia w całości jest równy 250 sekund. Ile najwięcej ćwiczeń w całości Martyna mogła wysłuchać w tym czasie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.4 Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zad.5 Dane są liczby: 𝑘 = 69 oraz 𝑚 = 83. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zad.6 W pudełku jest 18 kart jednakowej wielkości. Na każdej z nich narysowano jedną figurę geometryczną. Wśród tych kart • jest pięć kart z narysowanym trójkątem równobocznym o boku długości 6 cm • są cztery karty z narysowanym kwadratem o boku długości 7 cm • jest dziewięć kart z narysowanym pięciokątem foremnym o boku długości 2 cm. Z pudełka wylosowano jedną kartę. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zad.7 Jurek przejechał rowerem 12 km, co stanowiło 2/3 długości zaplanowanej trasy. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.8 Dane jest równanie 5 + (1 − 𝑥) / 2 = 2(𝑥 − 1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.9 Dane są dwie figury: kwadrat 𝐾 i romb 𝑅. Długość boku kwadratu 𝐾 jest równa 8. Iloczyn długości przekątnych rombu 𝑅 jest równy 64. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zad.10 Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski.

Zad.11 Kasia jest 3 razy starsza od Ani. Ola jest o 2 lata starsza od Kasi. Oznaczymy przez 𝑥 wiek Ani. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.12 Na rysunku przedstawiono trapez prostokątny oraz podano długości trzech jego boków. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zad.13 Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 150 cm 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.14 W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kolejne wierzchołki 𝐴 i 𝐵 pewnego czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷. Punkty 𝐴 i 𝐵 są punktami kratowymi. Pozostałe wierzchołki czworokąta mają współrzędne 𝐶 = (3, 𝑦𝐶) oraz 𝐷 = (−1, 𝑦𝐷), gdzie 𝑦𝐶 jest liczbą całkowitą dodatnią oraz 𝑦𝐶 = 𝑦𝐷.

$2^{}$

Zad.15 Sześcienną kostkę o objętości 1 dm3 włożono do prostopadłościennego pudełka, którego krawędzie oznaczono literami 𝑎, 𝑏, 𝑐 (zobacz rysunek). Długość krawędzi sześciennej kostki stanowi 

1/3 długości krawędzi 𝑎, 1/2 długości krawędzi 𝑏 i 2/5 długości krawędzi 𝑐.

Zad.16 Takie same hulajnogi są sprzedawane w sklepach A, B, C. W sklepie B cena hulajnogi stanowi 80% ceny hulajnogi w sklepie A. W sklepie C cena hulajnogi stanowi 120% ceny hulajnogi w sklepie B. Uzasadnij, że cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie A. Zapisz obliczenia.

Zad.17 Kamil otrzymał 300 złotych na zakup koszulki i torby sportowej. Na koszulkę wydał 1/5 tej kwoty. Za torbę sportową zapłacił 3/5 kwoty, która została mu po zakupie koszulki. Oblicz, ile złotych zostało Kamilowi po zakupach. Zapisz obliczenia. 

Zad.18 Kuba i Paweł wyruszyli o godzinie 8 : 44 ze szkoły na basen tą samą trasą o długości 7,5 km. Kuba wyruszył skuterem i dojechał na basen o 9 : 06. Paweł przejechał tę trasę rowerem km elektrycznym z prędkością 18 km/h . Oblicz, który z chłopców przejechał tę trasę w krótszym czasie. Zapisz obliczenia.

Zad.19 Dane są dwie osie liczbowe (zobacz rysunek). Na pierwszej z nich zaznaczono punkty 𝐾, 𝐿, 𝑀 oraz podano współrzędne punktów 𝐾 i 𝐿. Odcinek 𝐾𝑀 jest podzielony na 9 równych części. Na drugiej osi liczbowej zaznaczono punkty 𝑃, 𝑅, 𝑆 oraz podano współrzędne punktów 𝑃 i 𝑆. Odcinek 𝑃𝑆 jest podzielony na 9 równych części. Oblicz iloczyn 𝒙 ⋅ 𝒚. Zapisz obliczenia. 

Zad.20 Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 36 cm. Ramię tego trójkąta jest o 3 cm dłuższe od jego podstawy. Oblicz pole tego trójkąta. Zapisz obliczenia. 

Zad.21 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość 3,5 cm. Wysokość ostrosłupa jest o 8 cm mniejsza od obwodu jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Cały arkusz oraz klucz odpowiedzi pod linkiem:

https://arkusze.pl/egzamin-osmoklasisty-termin-dodatkowy-matematyka-2025/

 .........

Dziękuję i zapraszam :)

Rozwiązania KROK PO KROKU i odpowiedzi do EGZAMINU ÓSMOKLASISTY z 14 maja 2025 roku.

Zad.1 Deskorolka kosztuje 180 zł. Na diagramie przedstawiono kwoty, które Aldona odłożyła

w styczniu, w lutym, w marcu i w kwietniu na zakup deskorolki.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz

odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zad.2 Dane jest wyrażenie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość tego wyrażenia jest równa.

Zad.3 Dane są liczby: 91, 92, 95, 97.

Która z podanych liczb przy dzieleniu przez 𝟕 daje resztę 𝟏? Wybierz właściwą

odpowiedź spośród podanych.

Zad.4 Średnia arytmetyczna czterech liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jest równa 9, a średnia arytmetyczna

dwóch liczb 𝑒 i 𝑓 jest równa 6.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz

odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zad.5 Obwód pięciokąta przedstawionego na rysunku wyraża się wzorem 𝐿 = 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑐.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielkość 𝑎 wyznaczoną poprawnie z podanego wzoru opisuje równanie.

Zad.6 W pudełku znajdują się wyłącznie piłki białe, fioletowe i czarne. Piłek białych jest 4 razy

więcej niż fioletowych i o 3 mniej niż czarnych. Liczbę piłek fioletowych oznaczymy przez 𝑥.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Łączną liczbę wszystkich piłek w pudełku opisuje wyrażenie.

Zad.7 Dane są wyrażenia:

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F –

jeśli jest fałszywe.

Zad.8 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zad.9 Rowerzysta pokonał odcinek drogi o długości 100 m z prędkością 5 m/s.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rowerzysta pokonał ten odcinek drogi w czasie.

Zad. 10 Na loterię przygotowano 72 losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi

od 1 do 72. Wygrywają losy o numerach od 1 do 9 i od 46 do 72.

Pozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe.

Zad.11 Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶. Na środku boku 𝐴𝐵 zaznaczono punkt 𝐷. Następnie

poprowadzono odcinek 𝐷𝐶, dzielący trójkąt 𝐴𝐵𝐶 na dwa trójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐷𝐵𝐶. Ponadto

|𝐴𝐷| = |𝐷𝐵| = 30 cm oraz |𝐷𝐶| = 50 cm (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F –

jeśli jest fałszywe.

Zad.12 Na osi liczbowej zaznaczono punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐶. Odcinek 𝐴𝐶 jest podzielony na 6 równych

części.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F –

jeśli jest fałszywe.

Zad.13 Trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 podzielono na trzy figury: kwadrat 𝐴𝐸𝐺𝐷, trójkąt 𝐸𝐹𝐺 i romb 𝐹𝐵𝐶𝐺 (zobacz

rysunek). Na rysunku podano również długości boków trójkąta 𝐸𝐹𝐺.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy.

Zad.14 W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami

równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴 = (−3, −2), 𝐶 = (4, 2), 𝐷 = (−1, 2) (zobacz rysunek).

Współrzędna 𝑥 wierzchołka 𝐵, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Niezaznaczony na rysunku wierzchołek 𝐵 tego równoległoboku ma współrzędne.

Zad.15 Trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu mają długości: 5, 6, 7

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe.

Zad. 16 Liczbę 1/5, a drugi 7/15 zapisano w postaci sumy trzech ułamków zwykłych, z których jeden jest równy 1/6 .

Uzasadnij, że trzeci składnik tej sumy można przedstawić w postaci ułamka zwykłego,

którego licznik jest równy 𝟏, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią.

Zapisz obliczenia.

Zad.17 Troje przyjaciół – Andrzej, Basia i Marek – zbiera plakaty.

Andrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi, a Marek ma ich

3 razy mniej od Basi. Andrzej i Marek mają razem 2 razy

więcej plakatów od Basi.

Oblicz, ile plakatów ma każde z tych przyjaciół.

Zapisz obliczenia.

Zad.18 Na rysunku przedstawiono trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym kąt 𝐴𝐵𝐶 ma miarę 48°. Odcinek 𝐸𝐶

dzieli ten trapez na równoległobok 𝐴𝐸𝐶𝐷 i trójkąt 𝐸𝐵𝐶, w którym kąt 𝐵𝐶𝐸 ma miarę 57°

(zobacz rysunek).

Oblicz miary kątów 𝑫𝑨𝑩, 𝑩𝑪𝑫, 𝑪𝑫𝑨 trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.

Zad.19 Na ścianie wiszą dwie tablice: mała kwadratowa i duża

prostokątna. Mała tablica narysowana w skali 1:20 jest

kwadratem o boku 3 cm. Rzeczywiste wymiary dużej

prostokątnej tablicy są równe 240 cm i 90 cm.

Oblicz, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola

małej tablicy. Zapisz obliczenia.

Zad.20 Dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 15 cm. Każdy z boków 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 podzielono na

trzy równe części, a każdy z boków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 podzielono na pięć równych części.

Na boku 𝐵𝐶 zaznaczono punkt 𝐸, na boku 𝐶𝐷 zaznaczono punkt 𝐹, a ponadto

poprowadzono odcinki 𝐴𝐸 i 𝐴𝐹 (zobacz rysunek).

Oblicz pole czworokąta 𝑨𝑬𝑪𝑭. Zapisz obliczenia.

Zad.21 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym

wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi

podstawy jest równa 12 cm (zobacz rysunek).

Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego

ostrosłupa jest równe 108 cm2.

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego

ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Cały arkusz do druku - Klik 

Karty do rowiązań zadań otwartych - Klik

Karta odpowiedzi - Klik

Arkusze ze wszystkich przedmiotów https://oke.jaworzno.pl/www3/2025/05/13/arkusze-egzamin-osmoklasisty-maj-2025/

 .........

Dziękuję i zapraszam :)